一、概述

       半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析可以將時域信號與頻域信號進行轉換。快速傅立葉變換（FFT）計算在獲取時間相關的直流信號（如電流、電壓）并將其轉換為頻率和基于交流的參數，如電流譜密度、傅立葉分析可以將時域信號與頻域信號進行轉換。快速傅立葉變換（FFT）計算在獲取時間相關的直流信號（如電流、電壓）并將其轉換為頻率和基于交流的參數，如電流譜密度、1/f噪聲、熱噪聲和交流阻抗）時非常有用。源測量單元 （SMU）和脈沖測量單元（PMU）是4200A-SCS參數分析儀的模塊，用于在時域測量和加載輸出電流或電壓。儀器對這些基于時間的測量可以通過FFT計算轉換為頻域的參數。

       從Clarius+ V1.9軟件發布開始，4200A-SCS參數分析儀加載了半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析功能，能夠自動對時域測量進行基于頻率的計算，而無需下載數據并在單獨的工具中執行分析。并且能夠更快地獲得重要的測試結果。本文給出了這些功能的說明以及FFT參數提取的一些典型案例，包括使用SMU和PMU進行電流譜密度測量，電阻熱噪聲測量以及RC電路的交流阻抗計算。

二、Clarius公式編輯器中的FFT相關功能

       Clarius軟件有一個內置的公式編輯器，能夠對測試數據和其他計算結果進行數據計算。公式編輯器提供了各種計算函數、常用數學運算符和常用常量。從Clarius V1.9版本開始，FFT公式已添加到編輯器中。圖1顯示了帶有FFT的函數編輯器的截圖。

圖1. 在Clarius軟件的函數編輯器中的FFT功能

       表1列出了內置的FFT函數及其描述。這些方程對輸入數組的實部和虛部行FFT變換或FFT逆變換，然后獲得對應的輸出實部或虛部分量。其中兩個公式從輸入時間數組返回頻率數組。平滑函數通過將高頻分量歸零，對輸入數組進行數字濾波。

表1. FFT公式和描述

       在使用FFT公式時，Z好以均勻間隔的時間間隔獲取數據。當將時間數組轉換為頻率數組時，FFT_Freq函數允許用戶輸入一個容差參數，以確定連續間隔的時間數據是否均勻間隔。如果輸入時間數組中兩點之間的差值（以百分比表示）大于容差值，則會將“#REF”返回到Sheet。

       計算出的實部和虛部數據數組的輸出數據量將是2的冪次方。因此,理想的采集數據點數應該是2的冪次方，比如64、128、256、512、1024等。如果數據點的數量不是2的冪次方，則返回的點數將被減少，使其等于2的冪次方。

三、使用半導體參數分析儀的傅立葉FFT測試示例

       Clarius庫中的多個測試，包含了使用FFT公式將基于時間的電流或電壓測量轉換為頻率相關參數的示例。這些例子包括SMU電流譜密度、電阻器的熱噪聲、PMU電流譜密度和RC電路的交流阻抗。  

（一）SMU電流譜密度與頻率測量

          Clarius庫中的SMU電流譜密度（smu-isd）測試，使用SMU進行的隨時間變化的直流電流測量，從中得出電流譜密度與頻率的相關函數。根據設備和應用的不同，該測試可能能夠用于導出包括設備的電流噪聲，1/f 噪聲。

          在本測試中，4201-SMU使用Normal速度模式，在三個不同的電流范圍 (1mA，1μA和1nA) 下，測試開路的直流電流與時間關系。SMU的Force HI和Sense HI端子上需要加蓋金屬帽。FFT函數將會導出電流、功率、頻率、帶寬和電流譜密度的實分量和虛分量，如圖2所示。

圖2. smu-isd 測試公式

       三次測試運行得到的電流譜密度與頻率曲線如圖3所示。因為測量的是用開路的電流，所以基本上是推導出來的是SMU的本底噪聲。頻率會根據定時設置而發生變化。

       這些圖表顯示的是電流噪聲譜密度，以 A/sqrt(Hz) 為單位，而不是以單次，安培為單位，直流測量的噪聲。從快速傅立葉變換的數學表達式來看，電流頻譜密度在這里定義為：

       ISD = sqrt(2*PWR/(PTS*BW))

其中，

      PWR是電流幅度的平方，或者PWR= Im(I)^2 + Re(I)^2

      BW是時間采樣的帶寬

      PTS是點數，它應該是2的冪次方

帶寬 (BW) 定義為1/dt，其中dt為兩次測量之間的時間間隔，假設所有測量之間的時間間隔為恒定值。

圖3. SMU不同檔位的電流譜密度與頻率

       測量速度在測試設置窗口中配置。雖然不能直接設置測量時間間隔，但測量時間、帶寬和測試頻率都是已知的，并會返回到列表中。在設置speed模式時，通常需要在每個單次直流測量的速度和噪聲之間進行權衡。測量速度越快，噪聲就越大。對于總測試時間較長的測量，帶寬較小，因此噪聲也較小。

      本測試中的測量是在固定的電流量程上進行的。使用固定量程，而不是自動量程，這對于保持每個讀數的測量時間恒定是非常重要的，這是FFT計算所需要的。

      之所以使用sampling測試模式，是因為加載了一個恒定的偏置。在該模式下，必須輸入讀數的個數。盡管在使用FFT計算時需要大量的讀數，但這并不實用。

      在這個測試中，讀取了1024個讀數，因為1024是2的冪次方。表2列出了SMU電流譜密度測試的公式。

表2. SMU電流譜密度測試公式

（二）電阻的熱噪聲

          電阻的熱噪聲或約翰遜噪聲可以通過電阻上的直流電壓與時間的測量來計算。測試庫中的resistor-noise測試項測量0A的直流電壓與時間的函數，并計算在1GΩ電阻上的實部和虛部的電壓數組、功率、頻率、帶寬和電壓譜密度。電阻于SMU1和GNDU之間。一旦執行測試，熱噪聲（VSD）被繪制為頻率的函數，如圖4所示。

圖4. 1GΩ電阻的熱噪聲

       在這個測試中，直流電壓測量是在200mV 量程上進行的，在1nA量程上施加0A。計算1GΩ電阻的噪聲電流和約翰遜噪聲。1GΩ電阻的熱噪聲理論計算值約為4E-6Vrms，使用公式：vn=sqrt(4*k*TEMP* 1e9)。

電阻器熱功率噪聲的實際公式為：

       P=4*k*TEMP*BW

其中，

       k為玻爾茲曼常數，1.38 E-23 J/K

       TEMP為環境溫度 (K)

       BW為帶寬 (Hz)

       表3列出了resistor-noise測試的公式描述。時間、量程、點數和其他設置的信息與導出SMU電流譜密度的描述類似。

表3. 電阻熱噪聲測試相關公式

三、使用PMU獲取電流譜密度

       和SMU一樣，4225-PMU的電流譜密度也可以通過電流和時間的測量以及FFT計算得出。在測試庫中可以找到pmu-isd，在100μA和100nA范圍內測試計算 PMU 開路的電流譜密度。這個測試是通過使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的PMU_sampleRate用戶模塊生成的。使用PMU測試，我們可以在CH1和CH2上加載電壓偏置，選擇CH2的電流范圍，并指定總測試時間和采樣率。pmmu-isd測試的配置如圖5所示。

圖5. pmu-isd測試配置視圖

       與 SMU 電流譜密度測試一樣，公式編輯器有幾個公式可以推導出測試電流的帶寬、實部分量和虛部分量、功率、頻率和電流譜密度。圖6顯示了100μA和100nA檔位下電流譜密度與頻率的函數曲線。由于數據是用開路采集的，因此這些是在固定電流量程上以可選采樣率測量到的PMU本底噪聲。 

圖6. PMU電流譜密度

       在configure視圖中，輸入總測試時間和采樣率。點數等于總測試時間乘以采樣率。選擇輸入參數，由于將對數據執行FFT計算，使點數總數為2的幕次方。為了獲得Z佳的結果，至少應該使用20個點或更多。對于本次測試，帶寬設置為1024HZ。

表4. PMU譜密度測試相關公式

四、測定RC串聯電路的交流阻抗

      使用雙通道4225-PMU結合內置的FFT計算公式，可以提取RC電路的AC阻抗參數。PMU在時域測量電流和電壓，Clarius公式編輯器中的FFT通過計算將這些測試結果轉換為頻域的相關參數。

      例如，可以在PMU的CH1和CH2之間連接串聯 RC電路，如圖7所示。CH1輸出周期性脈沖波形 (ACV)，CH2測量產生的電流 (imeas)。通過 FFT 計算得到測試電路的AC阻抗參數，如串聯電阻(Rs)和電抗 (Xs)，以及阻抗的實部和虛部。電容(Cs)和耗散因子(D)可以用Rs和Xs推導出來。

圖7. 用于測量串聯RC電路AC阻抗的PMU連接

       R-C Circuit AC Impedance Calculations (rs-cs-ac-impedance) 測試項，包含RC串聯電路的AC參數。在這個測試示例中，PMU的CH1輸出一個具有指定幅度和測試頻率的脈沖波形。還指定了周期數和每個周期上的測試點數。在公式編輯器中配置計算，以提取100kΩ，10nF，R-C串聯電路的AC阻抗參數。此測試的配置如圖8所示。

圖8. rs-cs-ac-impedance測試的配置視圖

       在此測試中，在配置視圖中輸入CH1的電壓脈沖幅值 (ACV)、CH2的電流測量范圍 (irange)、測試頻率 (FREQ)、2^n個周期和2^n個點。表5列出了本次測試的輸入參數。基于這些輸入參數，PMU構建具有電流測量值的電壓段波形。  

表5. rs-cs-ac-immpedance測試輸入參數

       在對周期信號進行FFT計算時，通常需要大量的周期然而，獲取大量數據通常是不現實的。為了確保足夠的精度，至少需要測試32(2^5)個周期，每個周期有32(2^5)個數據點。在rs-cs-ac-impedance測試中,周期數和每個周期的點數都是 32。

       如果想同時提取串聯電阻(RS)和電容(Cs)，Z好選擇近似為：F=1/RC的測試頻率。不過，這可能需要些實驗。通常在測量電容或電阻之間需要進行權衡。更精準的電容測量需要更小的系數D，D<0.1，而更精準的電阻測量需要更高的系數D，D>1。當需要足夠的精度提取同時獲取RS和Cs時，選擇F=1/RC提供了一個權衡方案。

       一旦執行測試，返回到 Sheet相等的點數可以通過以下公式計算:

      每次測試的總點數=循環次數 x 每個循環的點數

      對于本次測試，總點數=32x32=1024。CH1上的測量脈沖電壓(vforce)，CH2的電壓(vlow)，時間和 CH2上的測量電流(imeas)的數組返回到表中。輸出參數的描述參考在表6。

表6. rs-cs-ac-impedance測試輸出參數

        從返回值中，可以提取許多AC參數。對于本次測試，RC串聯電路的所有計算參數如表7所示。

表7. 計算參數

        所有輸出和計算參數也返回到列表中，并在Analyze視圖中繪制圖形，如圖9所示。數據可以在時域和頻域上繪制。左圖為電壓和電流隨時間變化的函數曲線。右圖為電壓 (VPWR) 和電流 (IPWR) 幅值的平方的數組與頻率的函數曲線。導出主諧波頻率處的Cs、Rs和D，并出現在表格的Z后三列中。

圖9. 將數據在時域和頻域進行繪制

         rs-cs-ac-impedance測試項使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的pmu_waveform用戶模塊。此用戶模塊還可用于執行其他需要的特定測試頻率脈沖波形的測試。

五、結論

      半導體參數分析儀對直流電流和電壓測量執行FFT計算的能力使許多AC參數的提取成為可能，包括電流譜密度、熱噪聲和AC阻抗。這使得我們能夠更快地獲得測試結果，因為不再需要單獨的工具來執行半導體參數分析儀的傅立葉FFT分析。